赌徒初始资金为 $x$ 元，每一轮有 $p$ 的概率赢一元，$1-p$ 的概率输一元，输光则停止赌博，或赢到 $n$ 元后收手，求破产的概率 $a_x$（$x\in[0,n]$）。
显然
$$
a_0=1,a_n=0\\
\forall i\in[1,n-1],a_i=pa_{i+1}+(1-p)a_{i-1}
$$
很经典的常系数齐次线性递推，这里有一个比较方便的解法：
$$
(1-p)(a_i-a_{i-1})=p(a_{i+1}-a_i)
$$
令 $r=\frac p{1-p}$，则有
$$
a_{i+1}-a_{i}=r(a_i-a_{i-1})\\
a_{x}-a_0=\sum_{i=1}^xa_i-a_{i-1}=\sum_{i=1}^xr^{i-1}(a_1-a_0)=\frac{1-r^x}{1-r}(a_1-a_0)
$$
在 $x=n$ 时
$$
a_n-a_0=\frac{1-r^n}{1-r}(a_1-a_0)=-1
$$
所以
$$
a_x-a_0=\frac{1-r^x}{1-r}(a_1-a_0)=\frac{1-r^x}{1-r^n}\cdot\frac{1-r^n}{1-r}(a_1-a_0)=-\frac{1-r^x}{1-r^n}\\
a_x=1-\frac{1-r^x}{1-r^n}
$$
分析
如果一直赌而不收手，可以把 $n$ 视为无穷大。
当 $p\ne1-p$ 时，$r\ne1$，$a_x$ 随 $n$ 的增大而增大，收敛于 $1$。
当 $p=1-p=\frac 1 2$ 时，$r=1$，分母为 $0$，可以重新推导一下这种特殊情况，但这里我选择洛一下：
$$
a_x=1-\lim_{r\rightarrow1}\frac{1-r^x}{1-r^n}=1-\lim_{r\rightarrow1}\frac{-xr^{x-1}}{-nr^{n-1}}=\frac{n-x}n
$$
$a_x$ 依然随 $n$ 的增大而增大，收敛于 $1$，输光只是时间问题。